一個增函數和一個減函數相乘-一個增函數和一個減函數相加是什么函數

同學們好，我是李狀元數學課的李老師，講人人都聽得懂的高中數學課。

上節課我們講了一下分段函數。今天我們來看復合函數。

復合函數就是幾重函數復合在一起，最常見的就是2層的復合函數，可以表示成f[g(x)]，從這個式子里能看出來，函數g(x)的函數值作為f(x)的自變量，再代入f(x)的解析式求函數值。

函數的定義域優先，我們先看看定義域。復合函數的定義域應該是兩方面決定的：一是函數g(x)原本給出的定義域，假如用集合或區間A表示；二是g(x)的值域要落在f(x)的定義域內，也就是說給了g(x)一個取值范圍的要求，這樣的話相當于解一個含g(x)的不等式，得到一個解集B。

最終復合函數的定義域就是A和B的交集，或者說我們在x屬于g(x)定義域A的前提下，去解g(x)的值屬于f(x)定義域的這樣一個不等式，得到的解集就是復合函數f[g(x)]的定義域。

其實定義域明白了之后，復合函數的很多問題也就明白了。

比如說復合函數的求值，其實就是從內向外層層代入的過程。這個不用多解釋。

如果是求復合函數的零點，也就是方程f[g(x)]=0的解，那其實就是反過來從外向內一層一層“剝竹筍”的過程。先求方程f(x)=0的解，比如設為x1和x2，然后再分別解方程g(x)=x1，g(x)=x2，得到的解合起來就是f[g(x)]=0的解。

再來看一下復合函數的單調性。單調性簡單來說就是看x越大y是越大還是越小。那么也是兩層連起來看。假設g(x)遞減，f(x)遞減。

由g(x)遞減就得到x越大時g(x)越小，然后把g(x)作為自變量，由f(x)遞減得到g(x)越小時f[g(x)]越大。

現在把中間跳過，直接看一頭一尾，就是x越大時f[g(x)]越大，所以f[g(x)]是遞增的函數。

大家發現了嗎，這種兩層的關系類似于我們符號法則里的“正正或者負負都得正，正負或負正都得負”，所以復合函數的單調性的規律又被總結為“同增異減”，意思就是內外兩層函數單調性相同的話，不管是同為增還是同為減，復合函數就是遞增的；內外兩層函數一個增一個減，復合函數就是遞減的。

關于復合函數求值和它的單調性，大家明白了嗎？下課！